Unidad 4 Inecuaciones

Inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad de la que se desconoce un conjunto de valores.

Para resolver inecuaciones usamos un método similar al de resolución de ecuaciones, sólo que al multiplica o dividir ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Por ejemplo

–(¼)) x ≤4 ⇒; - (¼) . - (¼) x ≥ 4. - (¼ ) ⇒ x ≥ -1 ⇒ S={(- ∝; -1]}.

En ese caso, se invierte el sentido de la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación se expresa, generalmente en intervalos que representan los valore posibles en que la incógnita cumple la desigualdad. El resultado de una inecuación se expresa generalmente en intervalos teniendo en cuenta el orden. El signo 8 significa que hay infinitas soluciones posibles. En notación de intervalos escribimos esta situación utilizando corchete para el extremo que sí pertenece al intervalo y paréntesis para el extremo que queda fuera de la solución.

Inecuaciones con una incógnita 

Definición. Solución.

Dos expresiones algebraicas separadas por los signos <,>,≤,≥ forman una inecuación. 

La solución de una inecuación son todos los puntos que cumplen la desigualdad. La solución de una ecuación siempre va a ser un conjunto de puntos, un intervalo.

Propiedades.

• Al sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de una inecuación la desigualdad no varía. 

• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la desigualdad no varía.

• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. 

Inecuaciones de primer grado

Para resolver una inecuación de primer grado, aplicamos las propiedades de las inecuaciones hasta obtener una inecuación de la forma:

Inecuaciones de segundo grado

Una inecuación de segundo grado con una incógnita es una desigualdad

algebraica que se puede expresar en la forma

 ax2+bx+c<0 con a#0, y a, b, c números reales.

Para resolverla, se hallan las raíces de la ecuación x1 y x2. La solución, si tiene, será algunos o algunos de los intervalos (-∞,x1), (x1,x2), (x2,+∞) con x1< x2 Para saber si un intervalo es de la solución se coge un punto interior a él y se comprueba si verifica la desigualdad, si la verifica es de la solución.

Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas 

Una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad algebraica que se puede expresar en alguna de las formas: 

ax+by<c, ax+by>c, ax+by ≤c ó ax+by≥c con a, b, c números reales.

Para resolverla, se considera la función lineal asociada a la 

inecuación ax + by = c, y se representa gráficamente, (recuerda 

que se trata de una recta).

La solución será uno de los dos semiplanos en que la recta divide el 

plano. 

Soluciones de los ejercicios para practicar