Los
números racionales
Son el conjunto de números fraccionarios y números enteros
representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta
real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos,
por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números
negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le
sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número
racional existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda
la eternidad.
Todos
los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar
medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que
convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de
decimales que se podrían obtener.
Definición de números racionales
Para
decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número
racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos
números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural
positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe
mediante una fracción.
Los
números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros
también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser
tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el
número entero y el número 1 como denominador.
Al
conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la
palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para
recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números
enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los
números racionales como números Q.
Un
número racional puede ser expresado de diferentes maneras, sin alterar su
cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede ser expresado
como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles. Asimismo existe
una clasificación de los números racionales dependiendo de su expresión
decimal, estos son:
Los
números racionales limitados, cuya representación decimal
tiene un número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números
racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un
número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales
porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los
números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.
A su
vez los números racionales periódicos se dividen en dos, los periódicos puros,
cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la coma, por ejemplo
0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el patrón se encuentra
después de un número determinado de cifras, por ejemplo 5,48176363636363…
Propiedades de los números racionales
Existen
para la suma y resta, y para la multiplicación y división, distintas
propiedades de los números racionales, estos son:
Entre
las propiedades de la suma y resta están:
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos
números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este
resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
necesitara.
ab+cd=ef
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa
los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un
número racional. Veamos:
(ab+cd)−ef=ab+(cd−ef)
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si
el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
ab+cd=cd+ab
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una
cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será
el mismo número racional.
ab+0=ab
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es
la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo
que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como
resultado el cero.
ab−ab=0
Por
otro lado, existen también las propiedades de los números racionales por parte
de la multiplicación y la división, y estas son:
Propiedad interna.- en razón de que al
multiplicar números racionales, el resultado también es un número racional.
ab×cd=ef
Esta
además aplica con la división
ab÷cd=ef
Propiedad asociativa.- donde al agrupar
diferentes factores la forma de la agrupación, no altera el producto.
(ab×cd)×ef=ab×(cd×ef)
Propiedad conmutativa.- aquí se aplica la famosa
frase, el orden de los factores no altera el producto, entre los números
racionales también funciona.
ab×cd=cd×ab
Propiedad distributiva.- al combinar sumas y
multiplicaciones, el resultado es igual a la suma de los factores multiplicado
por cada uno de los sumandos, veamos el ejemplo:
ab×(cd+ef)=ab×cd+ab×ef
Elemento neutro.- en la multiplicación y la
división de números racionales, existe un elemento neutro que es el número uno,
cuyo producto o cociente con otro número racional, dará como resultado el mismo
número.
ab×1=ab
ab÷1=ab
Ejemplos de números racionales
Los
números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir
cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional, aquí
un ejemplo
57
Aunque
también podría ser expresado de esta manera:
5/7
Sin
embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números
Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:
3=31
Aunque
también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso
de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos
la misma respuesta:
155=3
También
encontramos números racionales enteros negativos, por ejemplo:
−6=−61
0,2424242424…
también puede ser tomado como un número racional, pues sus decimales son
periódicos, y podemos expresarlo en forma de fracción, así:
2499
Operaciones con
números racionales
Suma y resta de números racionales
Con el mismo
denominador
Se
suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
a + c = a+cb b b
5+1 = 6
Con distinto denominador
En primer
lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores
de las fracciones equivalentes obtenidas.
a+c = a.d+b.c
b d b.d
5+1 = 15+12 = 17
4 6 12 12
a-c = a.d-b.c
b d b.d
5-1 = 15-2 = 13
4 6 12 12
Propiedades de la suma de números racionales
1. Interna:
a + b 
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(1 + 1) +3 = 1 (1 + 3)
2 4 8 2 4 8
2 + 1 + 3 = 1
+ 2 + 3
4 8 2 8
3 + 3 = 1
+ 5 6 + 3 = 4 + 5 9 = 9
4 8 2
8 8 8
8 8
3. Conmutativa:
a + b = b + a
1 + 1 = 1 + 1
2 4 4 2
2+1 = 1+2 3 = 3
4
4 4 4
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
5. Elemento opuesto
a + (−a) = 0
3 + (-3) = 3 – 3 = 0 = 0
4 4 4 4
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
(4) 4
Multiplicación de números racionales
b d b.d
5 . 1 = 5
4 6 24
Propiedades de la multiplicación de
números racionales
1. Interna:
a
· b
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(1 . 3). 1 = 1 (3 . 1)
2 4 5 2 4 5
3 . 1 = 1 . 3 3 = 3
8 5 5 8 40 40
| 3. Conmutativa: |
a . b = b . a
4. Elemento neutro:
a . 1 = a
5. Elemento inverso:
a . 1 = 1
a
5 . 1 = 1
5
6. Distributiva:
a . (b + c) = a . b + a . c
1 . (1+3) = 1
. 1 + 1 . 3
2
4 2 2
4 2 2
7. Sacar factor común:
a . b + a . c = a . (b + c)
1 . 1 +1 . 3 = 1 .(1 + 3)
2 4 2 2 2 4 2
División de números racionales
a : c = a . d
b d
b.c
5 : 1 = 30
7 6
7
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