EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en
las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se
llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por
letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números
ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación.
o 
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y
volúmenes.
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
Longitud de la circunferencia: L = 2
r, donde r es el radio de lacircunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un
determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el
valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2
rr = 5 cm. L (5)= 2 ·
· 5 = 10 cmS(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la
potencia de exponente natural.
2x² y³ z
Binomio
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres
monomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un
monomio.
monomio
|
binomio
|
trinomio
|
 |  |  |
an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a
las variables. 3
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las
letras o variables.
El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte
literal.
2x² y³ z es semejante a 5x² y³ z
Operaciones con monomios
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma
parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ
2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³ z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x² y³ + 3x² y³ z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio
semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio
por el número.
2x² y³ z = 10x² y³ z
Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las
propiedades de las potencias.
axⁿ · bx ͫ = (a · b)bxⁿ + ͫ
5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
Cociente de monomios
.
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las
propiedades de las potencias
axⁿ : bx ͫ = (a : b)bxⁿ − ͫ
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de
éste, al exponente de la potencia.
(axⁿ) ͫ = am · bxⁿ · ͫ
(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x8
(-3x2)3 = (-3)3(x3)2 = −27x6
Concepto de polinomio de una sola variable
Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la
forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se
encuentra elevada la variable x.
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado. 6
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están
escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Tipos de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al
sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 7
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los
términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
- Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x - 3) + (2x³ - 3x² + 4x)
- Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ - 3 x² + 5x + 4x - 3
- Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³- 3x² + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del
sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3 x² + x - 3
Producto
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como
coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el
número.
3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios
que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Producto de polinomios
P(x) = 2x² - 3 Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los
elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² - 3) · (2x³ - 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de
los polinomios que se multiplican.
Cociente de polinomios
Resolver el cociente:
P(x) = 2x⁵ + 2x³−x - 8
Q(x) = 3x² −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es
completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
2X⁵ + 2x³ -x -8 | x² - 2x + 1
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Realizamos el cociente entre el primer monomio del dividendo y
el primer monomio del divisor.
2x⁵ : x² = x³
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
x⁵ + 2x³ - x – 8 | x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³
2x⁴ - x³ - x – 8
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo
restamos al dividendo.
2x4: x2 = 2 x2
x⁵ + 2x³ - x – 8
| x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³ + 2x²
2x⁴ + x³ - x – 8
- 2x⁴
+ 4x³ - 2x²
5x³
- 2x² - x - 8
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5x
x⁵ + 2x³ - x – 8
| x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³ + 2x² + 5x
2x⁴ + x³ - x – 8
- 2x⁴
+ 4x³ - 2x²
5x³
- 2x² - x - 8
- 5x³+10x²-5x
8x² -6x -8
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
x⁵ + 2x³ - x – 8
| x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³ + 2x² + 5x + 8
2x⁴ + x³
- 2x⁴
+ 4x³ - 2x²
5x³
- 2x² - x - 8
- 5x³ +10x²-5x
8x² - 6x –8
-
8x²+16x –8
10x–16 10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y
por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Identidades notables
Binomio al cuadrado
(a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
(x + 3)² = x² + 2 · x ·3 + 3² = x² + 6 x + 9
(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9
Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer
término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo
más el cuadrado segundo
Suma por diferencia
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a² − b²
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x²− 25
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se
representa por:
P(x) Q(x) ≠ 0
Q(x)
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
Q(x) y S(x)
P(x) R(x)
son equivalentes, y lo representamos por:
P(x) ‗ R(x)
Q(x) S(x)si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
x + 2 y 1 .
x² - 4 x -
2
son equivalentes porque:
(x+2) ·(x+2) = x² − 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el
denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de
cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.
P(x) ‗ P(x) . M(x)
Q(x) Q(x) . M(x)
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y
el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común
de ambos.
X² + 4x + 4 ‗
(x + 2) ‗ (x
+ 2)
X² - 4 (x + 2) . (x - 2) (x - 2)
No hay comentarios:
Publicar un comentario