Unidad 4 Ecuaciones

Ecuaciones

Una ecuación es una igualdad de la que se desconocen uno o más valores.  

Develando incógnitas:

Para resolver una ecuación se deben hallar él o los valores de la incógnita (x) que, cuando los reemplazamos en la ecuación, la igualdad se cumple.

Por ejemplo en la ecuación 4=x+2, x=2, el conjunto solución de esta ecuación es S={2}. Para resolver ésta, es necesario agrupar por un lado los valores que tienen x y por otro aquellos valores que no la tienen: 4+x=2x ⇒ 4=2x–x ⇒ 4=x. Es importante saber que las ecuaciones que tienen afectada la incógnita con un exponente par (x2) tienen dos soluciones, por ejemplo x2 =16 ⇒ √16 = |x| ⇒ |x| = 4. Esto se lee módulo de x, lo que significa que el valor es 4, pudiendo ser este positivo (4) o negativo (-4). En este caso el conjunto solución se expresa S= {-4; 4}.

Elementos de una ecuación 

En las ecuaciones distinguimos varios elementos:

• Incógnita: La letra (o variable) que figura en 

la ecuación. 

• Miembro: Es cada una de las dos expresiones 

algebraicas separadas por el signo =.

• Término: Cada uno de los sumando que 

componen los miembros de la ecuación.

• Grado: Es el mayor de los exponentes de las 

incógnitas, una vez realizadas todas las 

operaciones (reducir términos semejantes)

Solución de una ecuación

La solución de una ecuación es el valor de la 

incógnita que hace que la igualdad sea cierta.

• Si una ecuación tiene solución se llama 

compatible, si no tiene se dice incompatible.

• Dos ecuaciones que tienen las misma soluciones 

se dicen que equivalentes. 

Distingue los elementos de esta 

ecuación: 

14x (19x + 18) = x² + 7x + 1 

Incógnita: x

Primer Miembro: x + (19x+18) 

Segundo miembro: x² + 7x + 1 

Términos: 14x, 19x, 18, x², 7x, 1 

Grado: 2 

x+2 = 9 Solución x=7 

7+2= 9 Es compatible 

Un ecuación equivalente:

2x+4=18 

Observa que para obtener una 

ecuación equivalente se han 

multiplicado los dos miembros por 2. 

2(x+2) = 2·9→ 2x+4 = 18

Ecuaciones de primer grado 

Solución 

Una ecuación de primer grado con una incógnita es 

una igualdad algebraica que se puede expresar en la 

forma ax+b=0, con a#0.

La solución de una ecuación del tipo 

ax+b=c es: x=-b/a 

Resolver: -6x+4=15x 

Pasamos la x la izquierda y lo que no 

tiene x a la derecha 

                                 -6x-15x=-4 

Hacemos operaciones: -21x=4 

Despejamos la x: x = -  4

                                 21

Aplicaciones. Resolución de Problemas 

Las ecuaciones de primer grado se aplican a la 

resolución de problemas. 

Llamamos x al menor de los tres números.

Los números consecutivos son x+1, x+2 

La ecuación es: x+x+1+x+2=249 

Resolvemos:

3x + 3 = 249 

3x = 246 

x = 246/3 = 82

La solución: Los números son 82, 83 y 84 

3. Ecuación de segundo grado 

Solución 

Las ecuaciones de segundo grado son de la forma: 

ax² + bx + c =0 

Para resolverlas empleamos la fórmula:

Ecuaciones incompletas 

Cuando b, c ó los dos son 0 estamos ante una 

ecuación de segundo grado incompleta. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera:

Número de soluciones 

Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o 

ninguna solución, según sea b²-4ac, el llamado 

discriminante. 

ƒƒƒ b²-4ac > 0 Hay dos soluciones. 

ƒƒƒ b²-4ac = 0 Hay una solución doble: x=-b/2a 

ƒƒƒ b²-4ac < 0 No hay solución.

Aplicaciones 

Las ecuaciones de segundo grado se aplican a la resolución de problemas.

• Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.

• Traduce al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resuelve la ecuación planteada.

• Una vez resuelta la ecuación da la solución al problema. Puede ocurrir que alguna solución no valga.

A continuación puedes ver algunos ejemplos: 

EJEMPLO 1 

9 La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son esos números? 

La solución es el número 12, (-13 no vale por no ser 

natural) 

EJEMPLO 2 

9 En un parque nacional hay casetas forestales unidas cada una con todas las demás por un camino. Si el número de caminos es 28, ¿cuántas casetas hay?

La solución negativa no es válida ya que se trata de nº 

de casetas, luego hay 8 en el parque. 

4. Otros tipos de ecuaciones 

Ecuaciones bicuadradas 

A las ecuaciones del tipo ax⁴+bx²+c=0 se les llama bicuadradas. 

Para resolverlas basta hacer x²=t, obteniendo una ecuación de segundo grado: at²+bt+c=0, en la que 

Tipo (x-a)·(x-b)·....=0 

Para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, factorizadas, se igualan a

cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes.

Ensayo-error. Bisección

Se utiliza para resolver ecuaciones complicadas o que no sabemos resolver. 

• En primer lugar se pasa todo al mismo miembro para que un miembro de la ecuación sea 0, la ecuación queda de la forma f(x)=0.

• Se trata de encontrar dos valores a y b (a<b) que hagan la ecuación de distinto signo f(a)>0 y f(b)<0. En el ejemplo -1 y 0. La solución estará comprendida entre a y b. 

• Luego se coge un punto c entre a y b, a<c<b y se mira el signo de la ecuación, si f(c)=0 ya he terminado y c es la solución, si f(c)>0 me quedo con c y b (en otro caso con a y c). En el ejemplo -1 y -0,5.

• Se repite el proceso hasta encontrar la solución o un valor aproximado a ella.