Copiar y Pegar!!! Matematicas: Unidad 1: Los Numeros Enteros

Los números enteros

Los números enteros abarcan a los números naturales (los que se utilizan para contar los elementos de un conjunto), incluyendo al cero y a los números negativos (que son el resultado de restar a un número natural otro mayor). Por lo tanto, los números enteros son aquellos que no tienen parte decimal (es decir que 3,28, por ejemplo, no es un número entero).

"	Cuando se necesita además restar surgen los números enteros $\mathbb Z$ ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la operación suma.

Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:

el entero positivo a-b, si a > b,

0, si a=b

el entero negativo -(b-a) si a < b

La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.

Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como

(-a)(-b)=ab

(-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.

Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, f: Z ----- N, por ejemplo como ésta:

f(n) =2n si n es un entero positivo

f(0) = 1

f(-n)=2n+1

Por tanto, el conjunto de los enteros es también infinito numerable. También es un conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la relación de orden definida en la forma obvia y que extiende la relación de orden que se tiene en $\mathbb N$ . También es cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferior mente tiene elemento mínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene el elemento máximo.

Operaciones con números enteros

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a

|a| = a

Suma de números enteros

1. Si los sumando son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumando son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b $\in$ $\mathbb Z$

3 + (−5) $\in$ $\mathbb Z$

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b $\in$ $\mathbb Z$

10 − (−5) $\in$ $\mathbb Z$

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

+ por + = +

- por - = +

+ por - = -

- por + = -

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a · b $\in$ $\mathbb Z$

2 · (−5) $\in$ $\mathbb Z$

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)] = 2 · (−15)

6 · (−5) = -30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2) : 6 $\notin$ $\mathbb Z$

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

(+) Par = +

(+) Impar = +

(-) Par = +

(-) Impar = -

Propiedades

a° = 1

a¹ = a

am · an = am+n

(−2)5 ·(−2)² = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

am / an = am - n

(−2)5 / (−2)² = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8

(am)n = am · n

[(−2)³] = (−2)6 = 64

an · b n = (a · b) n

(−2)³ · (3)³ = (−6)³ = −216

an : b n = (a : b) n

(−6)³ / 3³ = (−2)³ = −8

Potencias de exponente entero negativo

a-n = 1/an Si a ≠ 0

Ejercicios de potencias de números enteros

1 (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 = (−3)8 = 6561

2 (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=

(−3)3 · (−3) · (−3)2 · (−3)0 = (−3)6 = 729

3 (−3)2 · (−3)3 · (−3)−4 = −3

4 3−2 · 3−4 · 34 = 3−2 = (1/3)2 = 1/9

5 52 : 53 = 5−1 = 1/5

6 5−2 : 53 = 5−5 = (1/5)5 = 1/3125

7 52 : 5−3 = 55 = 3125

8 5−2 : 5−3 = 5

9 (−3)1 · [(−3)3]2 · (−3)−4 =

(−3)1 · (−3)6· (−3)− = (−3)3

10 [(−3)6 : (−3)3]3 · (−3)0 · (−3)−4 =

[(−3)3]3 · (−3)0· (−3)−4 =

(−3)9 · (−3)0 · (−3)−4 = (−3)5 = −243

Unidad 1: Los Numeros Enteros

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