Blog Contentivo del contenido del trayecto inicial de la Materia de Matematica
Unidad 4 Inecuaciones
Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad de la que se desconoce un conjunto de valores.
Para resolver inecuaciones usamos un método similar al de resolución de ecuaciones, sólo que al multiplica o dividir ambos miembros de la desigualdad por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Por ejemplo
–(¼)) x ≤4 ⇒; - (¼) . - (¼) x ≥ 4. - (¼ ) ⇒ x ≥ -1 ⇒ S={(- ∝; -1]}.
En ese caso, se invierte el sentido de la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación se expresa, generalmente en intervalos que representan los valore posibles en que la incógnita cumple la desigualdad. El resultado de una inecuación se expresa generalmente en intervalos teniendo en cuenta el orden. El signo 8 significa que hay infinitas soluciones posibles. En notación de intervalos escribimos esta situación utilizando corchete para el extremo que sí pertenece al intervalo y paréntesis para el extremo que queda fuera de la solución.
Inecuaciones con una incógnita
Definición. Solución.
Dos expresiones algebraicas separadas por los signos <,>,≤,≥ forman una inecuación.
La solución de una inecuación son todos los puntos que cumplen la desigualdad. La solución de una ecuación siempre va a ser un conjunto de puntos, un intervalo.
Propiedades.
• Al sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de una inecuación la desigualdad no varía.
• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la desigualdad no varía.
• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia.
Inecuaciones de primer grado
Para resolver una inecuación de primer grado, aplicamos las propiedades de las inecuaciones hasta obtener una inecuación de la forma:
Inecuaciones de segundo grado
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es una desigualdad
algebraica que se puede expresar en la forma
ax2+bx+c<0 con a#0, y a, b, c números reales.
Para resolverla, se hallan las raíces de la ecuación x1 y x2. La solución, si tiene, será algunos o algunos de los intervalos (-∞,x1), (x1,x2), (x2,+∞) con x1< x2 Para saber si un intervalo es de la solución se coge un punto interior a él y se comprueba si verifica la desigualdad, si la verifica es de la solución.
Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas
Una inecuación de primer grado con una incógnita es una desigualdad algebraica que se puede expresar en alguna de las formas:
ax+by<c, ax+by>c, ax+by ≤c ó ax+by≥c con a, b, c números reales.
Para resolverla, se considera la función lineal asociada a la
inecuación ax + by = c, y se representa gráficamente, (recuerda
que se trata de una recta).
La solución será uno de los dos semiplanos en que la recta divide el
plano.
Soluciones de los ejercicios para practicar
Unidad 4 Ecuaciones
Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad de la que se desconocen uno o más valores.
Develando incógnitas:
Para resolver una ecuación se deben hallar él o los valores de la incógnita (x) que, cuando los reemplazamos en la ecuación, la igualdad se cumple.
Por ejemplo en la ecuación 4=x+2, x=2, el conjunto solución de esta ecuación es S={2}. Para resolver ésta, es necesario agrupar por un lado los valores que tienen x y por otro aquellos valores que no la tienen: 4+x=2x ⇒ 4=2x–x ⇒ 4=x. Es importante saber que las ecuaciones que tienen afectada la incógnita con un exponente par (x2) tienen dos soluciones, por ejemplo x2 =16 ⇒ √16 = |x| ⇒ |x| = 4. Esto se lee módulo de x, lo que significa que el valor es 4, pudiendo ser este positivo (4) o negativo (-4). En este caso el conjunto solución se expresa S= {-4; 4}.
Elementos de una ecuación
En las ecuaciones distinguimos varios elementos:
• Incógnita: La letra (o variable) que figura en
la ecuación.
• Miembro: Es cada una de las dos expresiones
algebraicas separadas por el signo =.
• Término: Cada uno de los sumando que
componen los miembros de la ecuación.
• Grado: Es el mayor de los exponentes de las
incógnitas, una vez realizadas todas las
operaciones (reducir términos semejantes)
Solución de una ecuación
La solución de una ecuación es el valor de la
incógnita que hace que la igualdad sea cierta.
• Si una ecuación tiene solución se llama
compatible, si no tiene se dice incompatible.
• Dos ecuaciones que tienen las misma soluciones
se dicen que equivalentes.
Distingue los elementos de esta
ecuación:
14x (19x + 18) = x² + 7x + 1
Incógnita: x
Primer Miembro: x + (19x+18)
Segundo miembro: x² + 7x + 1
Términos: 14x, 19x, 18, x², 7x, 1
Grado: 2
x+2 = 9 Solución x=7
7+2= 9 Es compatible
Un ecuación equivalente:
2x+4=18
Observa que para obtener una
ecuación equivalente se han
multiplicado los dos miembros por 2.
2(x+2) = 2·9→ 2x+4 = 18
Ecuaciones de primer grado
Solución
Una ecuación de primer grado con una incógnita es
una igualdad algebraica que se puede expresar en la
forma ax+b=0, con a#0.
La solución de una ecuación del tipo
ax+b=c es: x=-b/a
Resolver: -6x+4=15x
Pasamos la x la izquierda y lo que no
tiene x a la derecha
-6x-15x=-4
Hacemos operaciones: -21x=4
Despejamos la x: x = - 4
21
Aplicaciones. Resolución de Problemas
Las ecuaciones de primer grado se aplican a la
resolución de problemas.
Llamamos x al menor de los tres números.
Los números consecutivos son x+1, x+2
La ecuación es: x+x+1+x+2=249
Resolvemos:
3x + 3 = 249
3x = 246
x = 246/3 = 82
La solución: Los números son 82, 83 y 84
3. Ecuación de segundo grado
Solución
Las ecuaciones de segundo grado son de la forma:
ax² + bx + c =0
Para resolverlas empleamos la fórmula:
Ecuaciones incompletas
Cuando b, c ó los dos son 0 estamos ante una
ecuación de segundo grado incompleta. En estos casos no es necesario aplicar la fórmula sino que resulta más sencillo proceder de la siguiente manera:
Número de soluciones
Estas ecuaciones pueden tener dos soluciones, una o
ninguna solución, según sea b²-4ac, el llamado
discriminante.
ƒƒƒ b²-4ac > 0 Hay dos soluciones.
ƒƒƒ b²-4ac = 0 Hay una solución doble: x=-b/2a
ƒƒƒ b²-4ac < 0 No hay solución.
Aplicaciones
Las ecuaciones de segundo grado se aplican a la resolución de problemas.
• Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.
• Traduce al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resuelve la ecuación planteada.
• Una vez resuelta la ecuación da la solución al problema. Puede ocurrir que alguna solución no valga.
A continuación puedes ver algunos ejemplos:
EJEMPLO 1
9 La suma de los cuadrados de dos números naturales es 313. ¿Cuáles son esos números?
La solución es el número 12, (-13 no vale por no ser
natural)
EJEMPLO 2
9 En un parque nacional hay casetas forestales unidas cada una con todas las demás por un camino. Si el número de caminos es 28, ¿cuántas casetas hay?
La solución negativa no es válida ya que se trata de nº
de casetas, luego hay 8 en el parque.
4. Otros tipos de ecuaciones
Ecuaciones bicuadradas
A las ecuaciones del tipo ax⁴+bx²+c=0 se les llama bicuadradas.
Para resolverlas basta hacer x²=t, obteniendo una ecuación de segundo grado: at²+bt+c=0, en la que
Tipo (x-a)·(x-b)·....=0
Para calcular la solución de este tipo de ecuaciones, factorizadas, se igualan a
cero cada uno de los factores y se resuelven las ecuaciones resultantes.
Ensayo-error. Bisección
Se utiliza para resolver ecuaciones complicadas o que no sabemos resolver.
• En primer lugar se pasa todo al mismo miembro para que un miembro de la ecuación sea 0, la ecuación queda de la forma f(x)=0.
• Se trata de encontrar dos valores a y b (a<b) que hagan la ecuación de distinto signo f(a)>0 y f(b)<0. En el ejemplo -1 y 0. La solución estará comprendida entre a y b.
• Luego se coge un punto c entre a y b, a<c<b y se mira el signo de la ecuación, si f(c)=0 ya he terminado y c es la solución, si f(c)>0 me quedo con c y b (en otro caso con a y c). En el ejemplo -1 y -0,5.
• Se repite el proceso hasta encontrar la solución o un valor aproximado a ella.
Unidad 3 Radicación, Definición propiedades, suma, resta, multiplicación y división.
Las raíces más utilizadas son las que se leen como:
Raíz cuadrada (√), cuando en el índice no se escribe ningún valor, se sobreentiende que es dos(2)
Raíz cúbica 3√
Raíz cuarta 4√
Raíz quinta 5√
Y así sucesivamente, observe que la lectura de la raíz depende del número que se encuentre en el
índice.
Cuando hablamos de potencia de radicales simplemente nos referimos a potencias que tienen como base un radical. Estas potencias cumplen con todas las propiedades de la potenciación.
Nota:
En estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factorización obviando su escritura, y sumar los coeficientes directamente, es decir: 5√x +7√x = 12√x .
Observamos que los tres términos tienen en común el radical y, por lo tanto son términos semejantes y sacamos factor común √y
Identificamos cuales son términos semejantes y luego los agrupamos.
Extraemos el factor común de cada agrupación y sumamos (o restamos) los coeficientes.
Para simplificar la expresión, podemos extraer términos de la raíz, en este caso y"
Sacamos el mínimo común índice m.c.i. (3,12) = 12 y convertimos la expresión en un solo radical y resolvemos.
Se descompone 9= 3² y se aplica la propiedad de potencia de una potencia: 94=(3²)⁴ =3⁸
Se extrae el factor z²⁴ de la raíz y sale como z²⁴/¹² = z²
Unidad 2. Expresiones algebraicas, clasificación polinomio, producto notable, factorización de polinomio
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Trabajar en álgebra consiste en manejar relaciones numéricas en
las que una o más cantidades son desconocidas. Estas cantidades se
llaman VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se representan por
letras.
Una expresión algebraica es una combinación de letras y números
ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción,
multiplicación, división y potenciación.
o 
Las expresiones algebraicas nos permiten, por ejemplo, hallar áreas y
volúmenes.
Ejemplos de expresiones algebraicas son:
Longitud de la circunferencia: L = 2
r, donde r es el radio de lacircunferencia.
Área del cuadrado: S = l2, donde l es el lado del cuadrado.
Volumen del cubo: V = a3, donde a es la arista del cubo.
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un
determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el
valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
L(r) = 2
rr = 5 cm. L (5)= 2 ·
· 5 = 10 cmS(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52 = 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53 = 125 cm3
Clasificación de las expresiones algebraicas
Monomio
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas
operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la
potencia de exponente natural.
2x² y³ z
Binomio
Trinomio
Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres
monomios.
Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un
monomio.
monomio
|
binomio
|
trinomio
|
 |  |  |
an xn + an-1 xn-1 + ··· + a2 x2 + a1 x + a0
Partes de un monomio
Coeficiente
El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a
las variables. 3
Parte literal
La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado
El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las
letras o variables.
El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6
Monomios semejantes
Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte
literal.
2x² y³ z es semejante a 5x² y³ z
Operaciones con monomios
Suma de Monomios
Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma
parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.
axⁿ + bxⁿ = (a + b)bxⁿ
2x² y³ z + 3x² y³ z = 5x² y³ z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
2x² y³ + 3x² y³ z
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio
semejante cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio
por el número.
2x² y³ z = 10x² y³ z
Producto de monomios
El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
multiplicando entre sí las partes literales teniendo en cuenta las
propiedades de las potencias.
axⁿ · bx ͫ = (a · b)bxⁿ + ͫ
5x2 y3 z · 2 y2 z2 = 10 x2 y5 z3
Cociente de monomios
.
El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente
el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene
dividiendo entre sí las partes literales teniendo en cuenta las
propiedades de las potencias
axⁿ : bx ͫ = (a : b)bxⁿ − ͫ
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de
éste, al exponente de la potencia.
(axⁿ) ͫ = am · bxⁿ · ͫ
(2x3)3 = 23(x3)3 = 8x8
(-3x2)3 = (-3)3(x3)2 = −27x6
Concepto de polinomio de una sola variable
Un polinomio de una sola variable es una expresión algebraica de la
forma:
P(x) = an xn + an - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + ... + a1 x1 + a0
Siendo an, an -1 ... a1 , ao números, llamados coeficientes.
n un número natural.
x la variable o indeterminada.
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se
encuentra elevada la variable x.
Tipos de polinomios
Polinomio nulo
El polinomio nulo tiene todos sus coeficientes nulos.
Polinomio completo
Un polinomio completo tiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado. 6
P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x - 3
Polinomio ordenado
Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están
escritos de mayor a menor grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3
Tipos de polinomios según su grado
Polinomio de grado cero
P(x) = 2
Polinomio de primer grado
P(x) = 3x + 2
Polinomio de segundo grado
P(x) = 2x2+ 3x + 2
Polinomio de tercer grado
P(x) = x3 - 2x2+ 3x + 2
Polinomio de cuarto grado
P(x) = x4 + x3 - 2x2+ 3x + 2
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al
sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 ; x = 1 7
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los
términos del mismo grado.
P(x) = 2x3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x2 + 2x3
- Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x - 3) + (2x³ - 3x² + 4x)
- Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ - 3 x² + 5x + 4x - 3
- Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³- 3x² + 9x - 3
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del
sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3
P(x) − Q(x) = 3 x² + x - 3
Producto
Producto de un número por un polinomio
Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como
coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el
número.
3 · ( 2x3 - 3 x2 + 4x - 2) = 6x3 - 9x2 + 12x - 6
Producto de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios
que forman el polinomio.
3 x2 · (2x3 - 3x2 + 4x - 2) = 6x5 - 9x4 + 12x3 - 6x2
Producto de polinomios
P(x) = 2x² - 3 Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los
elementos segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² - 3) · (2x³ - 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =
Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x
Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de
los polinomios que se multiplican.
Cociente de polinomios
Resolver el cociente:
P(x) = 2x⁵ + 2x³−x - 8
Q(x) = 3x² −2 x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es
completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
2X⁵ + 2x³ -x -8 | x² - 2x + 1
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Realizamos el cociente entre el primer monomio del dividendo y
el primer monomio del divisor.
2x⁵ : x² = x³
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado
anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
x⁵ + 2x³ - x – 8 | x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³
2x⁴ - x³ - x – 8
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer
monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo
restamos al dividendo.
2x4: x2 = 2 x2
x⁵ + 2x³ - x – 8
| x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³ + 2x²
2x⁴ + x³ - x – 8
- 2x⁴
+ 4x³ - 2x²
5x³
- 2x² - x - 8
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5x
x⁵ + 2x³ - x – 8
| x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³ + 2x² + 5x
2x⁴ + x³ - x – 8
- 2x⁴
+ 4x³ - 2x²
5x³
- 2x² - x - 8
- 5x³+10x²-5x
8x² -6x -8
Volvemos a hacer las mismas operaciones.
8x2 : x2 = 8
x⁵ + 2x³ - x – 8
| x² - 2x + 1
- x⁵ + 2x⁴ - x³ x³ + 2x² + 5x + 8
2x⁴ + x³
- 2x⁴
+ 4x³ - 2x²
5x³
- 2x² - x - 8
- 5x³ +10x²-5x
8x² - 6x –8
-
8x²+16x –8
10x–16 10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y
por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
Identidades notables
Binomio al cuadrado
(a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
(x + 3)² = x² + 2 · x ·3 + 3² = x² + 6 x + 9
(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9
Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer
término más, o menos, el doble producto del primero por el segundo
más el cuadrado segundo
Suma por diferencia
Suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a² − b²
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x²− 25
Fracciones algebraicas
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se
representa por:
P(x) Q(x) ≠ 0
Q(x)
P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.
Fracciones algebraicas equivalentes
Dos fracciones algebraicas
Q(x) y S(x)
P(x) R(x)
son equivalentes, y lo representamos por:
P(x) ‗ R(x)
Q(x) S(x)si se verifica que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).
x + 2 y 1 .
x² - 4 x -
2
son equivalentes porque:
(x+2) ·(x+2) = x² − 4
Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el
denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de
cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.
P(x) ‗ P(x) . M(x)
Q(x) Q(x) . M(x)
Simplificación de fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y
el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común
de ambos.
X² + 4x + 4 ‗
(x + 2) ‗ (x
+ 2)
X² - 4 (x + 2) . (x - 2) (x - 2)
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